Widma sygnałów impulsowych

Jest takie zjawisko, że jeśli sygnał radiowy o stałej częstotliwości jest nadawany krótkimi impulsami, może on być odebrany przez odbiornik na więcej niż tylko jednej częstotliwości. Jeżeli przestrajalibyśmy odbiornik w całym jego zakresie częstotliwości odbioru, moglibyśmy stwierdzić, że odbiera on taki sygnał w bardzo szerokim paśmie częstotliwości. Jest to prawdą bez względu na to jak wąsko dostrojone są obwody odbiornika.

Takie zachowanie się odbiornika może zdumiewać, bo jeśli obserwujemy kilka okresów drgań sygnału na ekranie oscyloskopu i mierzymy odległości między jego kolejnymi okresami, nie zauważymy żeby „pocięcie” tego sygnału na impulsy powodowało jakiekolwiek zmiany jego częstotliwości nośnej.

Przyczyna różnicy między naszą percepcją, a zachowaniem się odbiornika będzie tu krótko wyjaśniona. Ażeby mieć głębsze wyobrażenie o zjawisku, przeprowadzimy kilka prostych eksperymentów, oczywiście w wyobraźni. Potrzebować będziemy tylko dwóch urządzeń.

Jednym z nich jest nadajnik mikrofalowy, który dla dwóch pierwszych naszych doświadczeń nie musi być skomplikowany i składa się jedynie z oscylatora (generatora fali ciągłej). Sygnał na jego wyjściu ma stałą amplitudę i stałą, bardzo stabilną częstotliwość. Oscylator ten możemy włączać i wyłączać w dowolnym momencie za pomocą klucza telegraficznego.

Drugim urządzeniem jest odbiornik mikrofalowy, który będzie wykrywał nadawany sygnał w sposób podobny do odbiornika radiofonicznego dostrajanego płynnie do konkretnej rozgłośni, z tą różnicą, że nasz idealny odbiornik jest o wiele bardziej selektywny, jego pasmo przepuszczania ma szerokość zaledwie jednego herca, a poza tym pasmem odbiornik tłumi wszystkie sygnały. Odbiornik ten możemy przestrajać w bardzo szerokim zakresie częstotliwości, a aktualną częstotliwość, do której dostrojony jest odbiornik możemy odczytać z jego skali częstotliwości. Woltomierz wskazywać będzie amplitudę odbieranego sygnału na wyjściu odbiornika. W celu zbadania, co wpływa na szerokość pasma radiowego sygnału impulsowego, przeprowadzimy dwa eksperymenty.

Eksperyment 1 - sygnał ciągły

W doświadczeniu tym emitujemy ciągły sygnał radiowy na częstotliwości f0 i powoli – herc za hercem – przestrajamy odbiornik w całym jego zakresie obserwując wskazówkę woltomierza.

Jak można było przewidzieć, bardzo silny sygnał pojawi się na wyjściu odbiornika tylko w jednym momencie, mianowicie gdy skala częstotliwości wskazywać będzie częstotliwość f0. Chociaż będziemy przeszukiwać całą skalę, nie dostrzeżemy śladów sygnału w żadnym innym jej punkcie. Jeżeli sporządzimy wykres zależności amplitudy odebranego sygnału w funkcji częstotliwości, otrzymamy jedną pionową linię.

Eksperyment 2 - ciąg niezależnych impulsów.

W drugim doświadczeniu okresowo naciskamy i zwalniamy klucz telegraficzny, powodując nadawanie bardzo długiej serii impulsów radiowych o częstotliwości nośnej f0 i stałej częstotliwości powtarzania tych impulsów fp. Należy tu jednak podkreślić, że chociaż będziemy naciskali i zwalniali klucz w bardzo precyzyjnym rytmie, to faza fali nośnej w kolejnych impulsach nie jest jednakowa i różni się losowo od impulsu do impulsu.

Każdy impuls trwa dokładnie 1/1000 sekundy, czyli 1000 mikrosekund. Chociaż wydaje się, że jest to bardzo krótki czas, trzeba uświadomić sobie, że jest on nawet 1000 razy dłuższy od czasu trwania impulsów generowanych przez większość radarów.

Ponieważ w tym eksperymencie średnia moc nadawanego sygnału jest mniejsza (nadajnik jest włączany okresowo, a nie generuje ciągle), sygnał na wyjściu odbiornika nie będzie tak mocny jak poprzednio, ale pojawi się w tym samym punkcie skali - na częstotliwości f0. Wykres amplitudy tego sygnału w funkcji częstotliwości nie będzie jednak tak ostry, jak poprzednio. Jeżeli rozciągniemy skalę częstotliwości zauważymy, że jest on ciągły w zakresie częstotliwości od 1000 Hz poniżej f0 do 1000 Hz powyżej f0. Szerokość pasma częstotliwości z zerowymi odczytami amplitudy sygnału na skali woltomierza wynosi więc 2000 Hz (2 kHz).

wykres funkcji sinx/x

Jeśli będziemy przestrajać odbiornik w górę i w dół skali częstotliwości od f0 o więcej niż 1000 Hz, wskazówka woltomierza będzie, chociaż o wiele mniej, okresowo się wychylać i wracać do wskazania zerowego. Odstrajając się coraz bardziej zauważymy, że wskazówka wskazuje zero dokładnie co 1000 Hz, a jej wychylenia są coraz mniejsze. Wykres amplitudy napięcia odbieranego sygnału w funkcji częstotliwości ma kształt opisany funkcją sinx/x (patrz rysunek).

Chociaż fakt istnienia „listków bocznych” na wykresie jest istotny, na razie zignorujmy je i zajmijmy się środkowym pasmem częstotliwości (od f0 - 1000 Hz do f0 + 1000 Hz), nazwijmy wykres w tym paśmie listkiem środkowym.

Zbadajmy teraz, od czego zależy szerokość tego listka; od częstotliwości powtarzania, od czasu trwania impulsów, czy od obu parametrów. Powtórzmy eksperyment dla kilku, coraz niższych częstotliwości powtarzania. Poza zmniejszeniem amplitudy sygnału wskazywanej przez woltomierz (mniejsza moc średnia), szerokość listka nie ulegnie zmianie. Wnioskujemy, że zmiana częstotliwości powtarzania impulsów nie ma wpływu na kształt listka. Eksperymentując dalej, jeżeli będziemy zmniejszać częstotliwość powtarzania do zera (okres powtarzania dąży do nieskończoności), otrzymamy w końcu pojedynczy impuls. Stąd następny wniosek: kształt listka, albo nazwijmy to teraz inaczej, widmo pojedynczego impulsu ma taki sam kształt jak widmo ciągu niezależnych, czyli o przypadkowej fazie, impulsów.

Teraz, nie zmieniając częstotliwości powtarzania impulsów, powtórzmy jeszcze kilka razy nasz eksperyment, za każdym razem coraz bardziej skracając czas trwania impulsów, aż do wartości 1/1000000 sekundy (1 mikrosekunda).

Rezultaty okażą się zdumiewające. Gdy czas trwania impulsów maleje, szerokość listka ogromnie się zwiększa. Dla czasu równego 1 μs listek rozciąga się od częstotliwości 1 MHz poniżej f0 do 1 MHz powyżej f0. Szerokość listka głównego wynosi więc 2 MHz!

Częstotliwość 2 MHz to 2 podzielone przez milionową część sekundy (1 μs). Podobnie, częstotliwość 2 kHz to 2 podzielone przez tysięczną część sekundy (1 ms). W konsekwencji możemy wyciągnąć wniosek, że szerokość głównego listka widma sygnału będącego ciągiem niezależnych impulsów radiowych wynosi:

równanie 10

gdzie B - szerokość środkowego listka widma impulsu (ang. Band - pasmo częstotliwości), τ - czas trwania impulsu

W tym miejscu naszych rozważań powstaje poważny problem. Jeśli w paśmie częstotliwości X dopplerowskie przesunięcie częstotliwości ma wartość 20 kHz dla prędkości promieniowej celu zbliżonej do prędkości dźwięku (300 m/s), to częstotliwości Dopplera występujące w czasie pracy większości radarów pokładowych nie będą przekraczać kilkuset kHz. Jeżeli więc środkowa część widma sygnału radaru zajmuje pasmo kilku MHz – około 10 razy więcej niż największe przesunięcie dopplerowskie – to jak radar wykryje to przesunięcie? Odpowiedź brzmi: nie wykryje, jeśli odbierane impulsy nie będą koherentne.

Koherencja

Pod pojęciem koherencji należy rozumieć ciągłość lub kontynuację fazy sygnału między kolejnymi impulsami. Jest wiele rodzajów koherencji. Najbardziej uniwersalna to taka, dla której czoło pierwszej fali w każdym impulsie jest oddalone od czoła ostatniej fali w poprzednim impulsie o całkowitą wielokrotność długości fali.

W poprzednim doświadczeniu generowaliśmy impulsy włączając oscylator kluczem telegraficznym. Chociaż takie włączanie było dość precyzyjne, fazy częstotliwości nośnej każdego impulsu – fazy początkowe – różniły się losowo od impulsu do impulsu. Generowany sygnał nie był koherentny.

Używając nieco bardziej skomplikowanego nadajnika można w łatwy sposób uzyskać koherencję sygnału. Nadajnik taki, powszechnie stosowany w radarach dopplerowskich, nazywa się po angielsku master oscillator – power amplifier, czyli oscylator wzorcowy połączony ze wzmacniaczem mocy. Jak nazwa sugeruje, składa się on z generatora wytwarzającego drgania wielkiej częstotliwości małej mocy o bardzo stabilnej częstotliwości oraz ze wzmacniacza wzmacniającego ten sygnał do poziomu niezbędnego dla wyemitowania go w przestrzeń.

Generator wytwarza falę ciągłą, natomiast wzmacniacz jest włączany i wyłączany kluczem w celu ukształtowania impulsów. Chociaż takie kluczowanie nie jest bardziej precyzyjne niż miało to miejsce w prostym nadajniku niekoherentnym, w tym przypadku fazy drgań w kolejnych impulsach są zgodne, tak jakby impulsy były „wycinane” z fali ciągłej. Separacja pomiędzy ostatnim czołem fali w jednym impulsie, a pierwszym czołem fali w impulsie następnym jest zawsze równa całkowitej wielokrotności długości fali. Impulsy są koherentne.

Eksperyment 3 - efekt koherencji.

Aby sprawdzić jaki efekt wywoła koherencja na kształt widma sygnału impulsowego, powtórzmy eksperyment nr 2, ale tym razem użyjmy nadajnika typu generator wzorcowy – wzmacniacz mocy. Efekt zastosowania transmisji koherentnej jest, skromnie mówiąc, kapitalny! Podczas gdy w przypadku sygnału niekoherentnego, środkowy listek jego widma zajmował szerokie pasmo częstotliwości, dla sygnału koherentnego wskazania woltomierza są niemal tak ostre, jak dla fali ciągłej. Jest jednak bardzo istotna różnica. Zamiast wychylić się tylko w jednym miejscu skali odbiornika, wskazówka woltomierza wychyla się w wielu różnych punktach skali. Widmo tego sygnału składa się z serii równo odległych prążków.

widmo ciągu impulsów koherentnych

Porównując to widmo sygnału koherentnego z widmem odpowiadającego mu sygnału niekoherentnego – takie same wartości częstotliwości powtarzania i czasu trwania impulsu – możemy zaobserwować dwa zjawiska. Po pierwsze na tych częstotliwościach, na których wskazówka woltomierza wychyla się, w przypadku sygnału koherentnego te wychylenia są o wiele większe, najwidoczniej energia tego sygnału jest skoncentrowana w wąskich liniach. Po drugie obwiednia, pod którą wpasowane są te linie (prążki), ma taki sam kształt (sin x/x) i taką samą szerokość między punktami zerowymi (2/τ), jak widmo sygnału niekoherentnego.

Podejrzewając, że odległości między prążkami widma mogą mieć związek z częstotliwością powtarzania impulsów, powtórzmy eksperyment kilka razy, za każdym razem coraz bardziej zwiększając tę częstotliwość. Okaże się, że jeśli będziemy zwiększać częstotliwość powtarzania, prążki w widmie będą coraz bardziej oddalać się od siebie. W każdym przypadku odstępy między sąsiednimi prążkami będą równe aktualnej częstotliwości powtarzania.

Warto zauważyć, że jeśli nie zmieniamy czasu trwania impulsów, wzrost częstotliwości ich powtarzania powoduje zmniejszanie się ilości prążków w widmie. Gdybyśmy nadal zwiększali częstotliwość powtarzania, w pewnym momencie osiągnęlibyśmy sytuację, w której cała energia sygnału skoncentrowana była w jednym prążku. Ale w tej sytuacji nadajnik generowałby falę ciągłą.

Z powyższego doświadczenia można wyciągnąć istotne wnioski. Pierwszy - widmo koherentnego ciągu impulsów składa się z serii prążków. Drugi - prążki te rozstawione są na skali częstotliwości symetrycznie względem częstotliwości nośnej f0 w odstępach równych częstotliwości powtarzania. Trzeci - wszystkie prążki mieszczą się dokładnie pod obwiednią o kształcie opisanej funkcją sinx/x o punktach zerowych będących kolejnymi wielokrotnościami 1/τ poniżej i powyżej f0.

Pod jednym względem jednak przeprowadzony przez nas eksperyment nie jest realistyczny, jeżeli przełożymy go na działanie większości radarów. Dla każdego nastawienia skali odbiornika, ciąg odbieranych impulsów trwał przynajmniej kilka sekund. Rzeczywiście, po każdym dostrojeniu odbiornika musieliśmy czekać kilka sekund, aby wskazówka woltomierza ustabilizowała swoje wskazanie. Dla kontrastu, ciąg lub seria impulsów echa odbieranych przez radar za każdym razem, gdy wiązka promieniowania kształtowana przez antenę „przemiata” cel, trwa jedynie mały ułamek sekundy.

Okazuje się, że jeżeli ciąg impulsów nie jest nieskończenie długi, co w praktyce raczej się nie zdarza, prążki widma (linie spektralne) mają skończoną szerokość. Szerokość ta jest odwrotnie proporcjonalna do liczby impulsów w serii. Jeśli na przykład seria liczy 32 impulsy, to szerokość prążka równa się 2/32, czyli jednej szesnastej częstotliwości powtarzania.

Listki boczne linii spektralnych widma

Dotychczas niewiele miejsca poświęciłem listkom bocznym prążków widma. Okazuje się, że podobnie jak otaczają one listek główny widma pojedynczego impulsu, otaczają one również każdy prążek widma paczki impulsów, w sumie dając się opisać funkcją sinx/x.

Ponieważ długość paczki impulsów odebranych od celu w wyniku skanowania przestrzeni przez radar jest ograniczona, to listki te stwarzają poważny problem konstruktorom radarów. Na szczęście dzięki poprawnemu zaprojektowaniu filtrów dopplerowskich wchodzących w skład procesora sygnałowego radaru, listki boczne można ograniczyć do akceptowalnego poziomu.

Wnioski

Powróćmy do pytania postawionego wcześniej. Jeżeli widmo impulsu radarowego może być wielokrotnie szersze od największej częstotliwości Dopplera, jak radar jest w stanie „dostrzec” małe przesunięcia dopplerowskie w bardzo słabym sygnale echa od celu poruszającego się na tle bardzo silnego sygnału zakłóceń terenowych?

Na podstawie powyższych rozważań odpowiedź jest oczywista. Radar może łatwo dostrzec te przesunięcia, jeżeli spełnione zostaną następujące warunki:

Matematyczne wyjaśnienie pojęcia widma sygnału

Można zademonstrować graficznie i udowodnić matematycznie, że dowolny, o dowolnym kształcie, okresowo powtarzający się sygnał, taki jak np. impulsowy, koherentny sygnał radiowy, może być utworzony przez dodanie do siebie serii sinusoidalnych fal o określonych amplitudach i fazach, których częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości, z jaką powtarza się ten wypadkowy sygnał. Częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością podstawową lub pierwszą harmoniczną, a jej wielokrotności – harmonicznymi. Matematycznie opisał to francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier żyjący na przełomie 18-go i 19-go wieku, a od jego nazwiska opis ten nazywany jest szeregami Fouriera. W uproszczeniu, wg teorii Fouriera każda „przyzwoicie zachowująca się” funkcja okresowa może być przedstawiona w postaci szeregu (lub inaczej nazywając, ciągu) trygonometrycznego będącego sumą pewnej stałej oraz wyrażeń funkcji sinus, których częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami pierwszej harmonicznej.

Panu Fourierowi chyba nie śniło się, jak ogromne znaczenie będzie miała jego teoria w przyszłości, szczególnie w elektronice, telekomunikacji, no i oczywiście w radiolokacji.

A tak na chłopski rozum, czym jest widmo dowolnego sygnału elektrycznego? Jest rozkładem energii tego sygnału w funkcji częstotliwości.