Przyczyna powstawania efektu Dopplera

efekt Dopplera

Efekt Dopplera jest to zmiana częstotliwości sygnału emitowanego, odbitego lub odbieranego przez obiekt będący w ruchu. Jak widać na rysunku, fala emitowana przez źródło punktowe jest skracana w jednym kierunku ruchu i jest wydłużana w przeciwnym kierunku. W obu przypadkach, czym większa jest prędkość obiektu, tym większy jest ten efekt. Jedynie na kierunkach prostopadłych do kierunku ruchu efekt Dopplera nie występuje. Ponieważ częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali, czym bardziej skrócona zostanie fala, tym większa jest częstotliwość sygnału. Dlatego istnieje bezpośredni związek między dopplerowskim przesunięciem częstotliwości i prędkością obiektu.

W przypadku radaru efekt Dopplera jest wynikiem względnego ruchu radaru i obiektów, od których odbijają się fale elektromagnetyczne. Jeżeli odległość pomiędzy radarem, a odbijającym fale obiektem zmniejsza się, fale ulegają skróceniu, a częstotliwość sygnału zwiększa się. Jeśli odległość zwiększa się, efekt jest przeciwny.

W przypadku radarów naziemnych efekt Dopplera jest związany tylko i wyłącznie z ruchem celów. Ponieważ echa od powierzchni ziemi nie powodują przesunięcia częstotliwości, rozróżnienie odbić terenowych i ech od poruszających się obiektów jest stosunkowo łatwe.

W przypadku radarów pokładowych względny ruch może być efektem ruchu albo radaru albo celu bądź obu wyżej wymienionych. Za wyjątkiem śmigłowca w zawisie, radar jest zawsze w ruchu. W konsekwencji, zarówno echa od celów jak i echa od powierzchni ziemi są przesunięte w częstotliwości. Bardzo to komplikuje zadanie odseparowania ech od celów od odbić terenowych. Radar może je oddzielić jedynie na podstawie różnicy ich częstotliwości dopplerowskich.

Natura efektu Dopplera

Staram się jak mogę ograniczać ilość wzorów matematycznych z prostego lenistwa, bo każdy kto próbował umieścić w Internecie cokolwiek zawierającego równania, wie z jakimi problemami się to wiąże. Czasami nie da się jednak uniknąć matematyki. Mam nadzieję, że mój wysiłek się opłaci, bo przy okazji przedstawię wektorową reprezentację sygnałów, a przyda się to przy okazji analizowania radarowych układów przeciwzakłóceniowych.

sygnał harmoniczny

Na rysunku obok przedstawiłem wektor o długości Um zaczepiony w środku prostokątnego układu współrzędnych xy, obracający się ze stałą prędkością kątową ω wokół punktu zaczepienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Czas pełnego obrotu o 360° nazwijmy okresem T, a ilość obrotów w ciągu sekundy częstotliwością f = 1/T.

Ponieważ kąt pełny równa się 2π radianów, a prędkość kątowa to stosunek kąta przebytego przez wektor do czasu, to

równanie 11

Kąt, jaki tworzy wektor U z osią x to kąt fazowy φ będący funkcją czasu:

równanie 12

Oznaczmy literą u rzut prostokątny wektora na oś y i przyjmijmy założenie, że w momencie rozpoczęcia obserwacji φ = 0. Z rysunku widać, że u/Um= sinφ. Jeżeli będziemy kreślić wartość u w funkcji czasu, to zgodnie z powyższym otrzymamy krzywą sinusoidalną

równanie 13

Jest to matematyczny opis sygnału harmonicznego o amplitudzie Um i częstotliwości f, czyli sygnał o kształcie sinusoidalnym można przedstawić graficznie za pomocą wektora o długości równej amplitudzie tego sygnału, a kąt φ jaki tworzy ten wektor z osią x jest chwilowym kątem fazowym sygnału. Wielkość opisana grecką literką ω jest w elektronice nazywana pulsacją. W przypadku gdy mamy do czynienia tylko z jednym sygnałem, znaczenie tego „odkrycia” jest wątpliwe, natomiast jeśli będziemy analizować zależności fazowe zachodzące między dwoma lub większą liczbą sygnałów, takie graficzne wektorowe ich przedstawienie może być bardzo pomocne. Załóżmy mianowicie, że radar promieniowania ciągłego generuje i emituje w przestrzeń sygnał

równanie 14

Po czasie opóźnienia tR zależnym od odległości R obiektu i prędkości propagacji fali c, do radaru wraca sygnał echa

równanie 15

Dla uproszczenia pomijam zmianę fazy tego sygnału w procesie odbicia sygnału sondującego od obiektu, podobnie przyjmuję założenie, że obiekt porusza się w określonym kierunku ze stałą prędkością v. Ponieważ czas opóźnienia sygnału echa jest wprost proporcjonalny do podwójnej odległości celu (sygnał przebywa drogę od radaru do celu i z powrotem), a odwrotnie proporcjonalny do prędkości propagacji c, czyli

rónanie 16

oraz

równanie 17

gdzie vr jest składową promieniową (radialną) wektora prędkości celu względem radaru, to

równanie 18

gdzie

równanie 19

jest fazą sygnału echa zależną od początkowej odległości celu (w momencie rozpoczęcia obserwacji) o stałej wartości.

Interesujące jest, że we wzorze opisującym sygnał echa pulsacja i częstotliwość tego sygnału różnią się od pulsacji i częstotliwości sygnału sondującego o wartości odpowiednio:

równanie 20

równanie 21

Znając zależność między częstotliwością i długością fali, ostatnie równanie można zapisać w innej postaci:

równanie 22 widmo koherentnych sygnałów impulsowych

Tę zmianę częstotliwości nazywamy częstotliwością Dopplera, poprawką Dopplera albo dopplerowskim przesunięciem częstotliwości. Przyjmuje ona wartości dodatnie, gdy cel zbliża się do radaru i ujemne, gdy cel się oddala. Wektor reprezentujący sygnał echa od celu poruszającego się będzie oczywiście wirował z inną prędkością kątową niż wektor reprezentujący sygnał sondujący, podobnie widmo sygnału echa będzie przesunięte o wartość fD. Na rysunku obok przedstawiłem widmo sygnału sondującego oraz przesunięte widmo sygnału echa dla przypadku, gdy cel zbliża się do radaru.